和弦推导逻辑简析

Image By Dustin Wallace

诚然,吉他有上千个和弦。世界上最厉害的吉他大师,也无法一眼辨识出所有的和弦。

更多时候,我们熟记几个基本的和弦,然后通过一定的计算法则,去推导其他的和弦。因而推导的逻辑就非常重要。

《吉他三月通》一书把这乐理洋洋洒洒说了一百多页,我想试着让事情简单一些。

最后,我们将逻辑实现成一个小程序,可以方便打印出想要推导的和弦。

###音乐与数学

既然是逻辑,都可以用数学去建模,然而音乐与数学之间,却有一点非常重要的差异。

在这之前,我们得谈点有趣的事情,它们都有共同的原因:

  1. 为什么我们会觉得某首歌很“中国风”?
  2. 为什么某些日本的传统音乐听起来很“诡异”?
  3. 为什么钢琴要做成黑键白键,所有键都一样不行吗?

我们常用——

正整数:1、2、3、4、5、6、7 ,
对应和弦:C、D、E、F、G、A、B,
对应音符:Do、Re、Me、Fa、So、La、Ti

每个正整数之间,都是相差1;而按频率高低排列的音符,由于历史原因,它们并不是等差数列

实际上,4比理想的要低一点,7比理想的要高一点,其他的5个音,则基本在理想线性曲线上!

音阶频率曲线

这5个跟理想比较吻合的音,就是天朝古代的五音阶:宫、商、角、徵、羽。“中国风”的歌曲,大多使用了这五个音,所以让人感到舒服和温和;而日本的传统音乐,反其道而行用了许多4与7(这么说也不太对,具体是受阴阳调式影响,但表现上大概如此),有一种幽静阴深的效果。

所以,以上问题的原因是:音符的递增不完全是线性的

我们得把4和7这两个不和谐点标志出来,就出现了“半音和全音”的理论。
3到47到1这两个不满一个跨度的叫做半音;其他相邻音符之间,都叫做全音
而造物主的神奇之处在于:两个半音等于一个全音

音乐的世界跟数学的这点不同,会在后面逻辑推导上会给我们一点小小的麻烦。

###音乐家与程序员

试想,如果程序员要完成描述音阶的数据结构,会如何设计呢?

通常,应该先规划“最小粒度”。而“半音”刚好是最合适的选择。

音乐家与程序员的处理方式如出一辙,钢琴上夹在两个白键之间的黑键,吉他相邻品丝之间,都是为了表现出半音。

如果用程序描述吉他品丝的关系就是:

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var scale = [2, 2, 1, 2, 2, 2, 1]; //3-4是半音,7-1也是半音,相隔1品;其他是全音,相隔2品

###吉他与尺子

知道了这些,我们就好比掌握了一把尺子的刻度

在尺子上,如果一个刻度表示1cm,那么从3cm往后推两个格子,就是5cm;
把吉他想象成尺子,一个刻度表示半音,和弦之间就可以推导了。

与众不同的是,这把尺子首尾相连,更像一个循环的圈。

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刻度: 2品 2品 1品 2品 2品 2品 1品 2品 2品
和弦:C +----> D +----> E +----> F +----> G +----> A +----> B +----> C +----> D +----> ……
音符:Do +----> Re +----> Me +----> Fa +----> So +----> La +----> Ti +----> Do +----> Re +----> ……
整数:1 +----> 2 +----> 3 +----> 4 +----> 5 +----> 6 +----> 7 +----> 1 +----> 2 +----> ……

因而,一个和弦可以有多种方式弹奏
比如C和弦,除了最基础的开放式(不需要用食指横按品丝)指法,我们还可以用A和弦的指法实现:

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2
3
C = B + 1
= A + 2品 + 1
= A + 3

所以,我们用食指横按住第3品(或者用变调夹夹第3品),然后再加上A和弦的开放式指法,就形成了一个C和弦。

同理也可以用E和弦实现:

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C = B + 1
= A + 2品 + 1
= G + 2品 + 2品 + 1
= F + 2品 + 2品 + 2品 + 1
= E + 1品 + 2品 + 2品 + 2品 + 1
= E + 8

横按的位置就在第8品上。

其实大部分情况下,我们都是用A,E,Am,Em这四个和弦去推导其他和弦,因为这几个和弦横按与转换比较方便,特别是在扫弦的时候。

###程序实现

明确逻辑之后,就差程序实现了。但这之前,我们定了程序的最小粒度是1品,就无可避免遇到一个问题:

如果A + 2品 = B,那A + 1品 = ?

这个和弦介于A与B之间,人们把它称为升A降B,对应记法是A#Bb

至此我们可以列出,用E指法和A指法推导的所有和弦的横按位置:

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var positions = {
"E": {
"A": 5,
"A#": 6,
"Bb": 6,
"B": 7,
"C": 8,
"C#": 9,
"Db": 9,
"D": 10,
"D#": 11,
"Eb": 11,
"E": 12,
"F": 1,
"F#": 2,
"Gb": 2,
"G": 3,
"G#": 4,
"Ab": 4
},
"A": {
"A": 12,
"A#": 1,
"Bb": 1,
"B": 2,
"C": 3,
"C#": 4,
"Db": 4,
"D": 5,
"D#": 6,
"Eb": 6,
"E": 7,
"F": 8,
"F#": 9,
"Gb": 9,
"G": 10,
"G#": 11,
"Ab": 11
}
};

同时,将E、A的开放和弦的指型描述出来:

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//这里仅列出EA大小和弦,共四种指法
//更详细指法数据结构可参看后面demo
chord_shapes = {
"M E": {
name: "Maj",
chord: [[3, 2], [4, 3], [5, 3]],
bars: [{from_string: 6, to_string: 1, fret: 1}]
},
"m E": {
name: "m",
chord: [[4, 3], [5, 3]],
bars: [{from_string: 6, to_string: 1, fret: 1}]
},
"M A": {
name: "Maj",
chord: [[2, 3], [3, 3], [4, 3], [6, "x"]],
bars: [{from_string: 5, to_string: 1, fret: 1}]
},
"m A": {
name: "m",
chord: [[2, 2], [3, 3], [4, 3], [6, "x"]],
bars: [{from_string: 5, to_string: 1, fret: 1}]
}
};

分别传递“和弦名”,“指法”,“类型”作为参数,我们就可以很容易的画出和弦:

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2
createChord("C", "A", "M A"); \\画出C和弦,用A指法,定义类型是大三和弦(Maj)
createChord("D", "A", "m A"); \\画出Dm和弦,用A指法,定义类型是小三和弦(Minor)

###Demo

以下是完整Demo,将上述chord_shapes的指型补充得更完整。

并且尝试用A指型,自动生成了C调的7个常用和弦。

End. 2015.5.25

梦周十<br>炎黄子孙,生活在华夏大地<br><br>热爱大海与冷笑话,<br/>目前是一枚前端<br/><br/>胆小认生,不易相处,<br>年轻无为,卖马为生。